Einleitung

Zufallszahlen werden auf vielen Gebieten der Naturwissenschaft und Technik bei stochastischen Simulationen eingesetzt, um einerseits analytisch gewonnene Ergebnisse zu überprüfen und andererseits zu Aussagen über das Verhalten von zufallsbeeinflußten Systemen auch dann zu gelangen, falls es nicht möglich ist, analytische Ergebnisse zu berechnen. Bei diesen Simulation werden stochastisch beeinflußte Eingabedaten durch einen Zufallszahlengenerator nachgebildet. Hier wie in allen anderen Fällen kommt es darauf an, daß die Simulation unbedingt zuverlässige Ergebnisse liefert. Das ist nur möglich, wenn auch der verwendete Zufallsgenerator wirklich zuverlässig ist. Die Erfahrungen mit den bisher üblichen sog. Pseudozufallsgeneratoren lassen immer wieder Zweifel aufkommen, ob diese Forderung ausreichend erfüllt ist [5]. Arbeiten zur Darstellung eines zuverlässigen Zufallsgenerators mit quasi-idealen Eigenschaften sind daher von großer Bedeutung.

Zur Erzeugung von beliebig verteilten Zufallszahlen benötigt man zunächst einen Basisgenerator, der eine gleichverteilte Zufallszahl u im Bereich [0,1] liefert. Um eine Zufallszahl zu generieren, kann man eine Bitfolge b₁, b₂, …, b_k der gleichverteilten binären Zufallsfolge b mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion

\[ P(b) = \frac{1}{2}; \hspace{2cm} b \in \{0,1\} \]

\[(1)\]

als eine k-stellige natürliche Dualzahl X interpretieren und sie durch die maximal auftretende Zahl 2^k – 1 teilen. Daraus ergibt sich dann eine diskrete gleichverteilte Zufallzahl u im Intervall [0,1],

\[u = \frac{X}{2^k-1};\hspace{2cm} P(u) = 2^{-k};\]

\[(2)\]

die bei großen Werten von k ( z.B. \(k=32\) ) als quasi-kontinuierliche gleichverteilte Zufallszahl u mit der Dichtefunktion \(f(u) = 1\) aufgefaßt werden kann. An die zugrundeliegende Bitfolge wird neben der exakten Gleichverteilung die weitere Anforderung gestellt, daß sie korrelationsfrei sein soll, d.h. jedes Zufallsbit sollte unabhängig von seinen zeitlichen Vorgängern sein. Diese Forderung ist in der Realität nur in dem Sinn erfüllbar, daß die Korrelationen unmeßbar klein sind. In diesem Fall, und wenn die Forderung \( P(b) = \frac{1}{2}\) erfüllt ist, können die Zufallzahlen als quasi-ideal betrachtet werden. Eine weitere Forderung ist eine schnelle Verfügbarkeit der Zufallszahlen während des Simulationsvorgangs. Falls die Zufallszahlen zur Zeit der Benutzung laufend erzeugt werden sollen, muß die Generationsdauer entsprechend klein sein, wodurch jedoch in der Regel eine unzureichende Qualität der Zufallszahlen entsteht. Um unabhängig von der Generierungsrate zu sein, kann man einen Tabellengenerator benutzen, bei dem die Zufallszahlen vor der Benutzung erzeugt und abgespeichert worden sind. Werden die Zufallszahlen dann benötigt, können sie schnell aus der Tabelle herausgelesen werden.

In der Praxis werden die Zufallszahlen häufig aus einer rekursiven Rechenvorschrift gewonnen [2], nach der aus dem oder einigen Vorgängern eine weitere Zufallszahl gebildet wird. Die so erzeugten Sequenzen sind im strengen Sinne nicht zufällig und werden daher als pseudozufällig bezeichnet, können aber als ausreichend zufällig angesehen werden, falls sie die geforderten Qualitätsansprüche erfüllen. Hierzu beobachtet man eine solche Sequenz, bestimmt ihren Mittelwert, Momente der Verteilung sowie die Korrelationen und andere Eigenschaften [8] und entscheidet dann, ob sie den gestellten Anforderungen genügt. Bei der Verwendung der so generierten Zufallszahlen muß jedoch darauf geachtet werden, daß keine Eigenschaft des Generators verwendet wird, die nicht überprüft wurde, da sie unter Umständen zu falschen Simulationsergebnissen führt. Diese Überprüfung ist oft sehr problematisch oder unmöglich.

Aufgrund dieser Anforderungen wurde Puran2, ein neuer physikalischer Zufallszahlengenerator, mit folgenden Merkmalen konzipiert.

Einsatz einer elektronischen Rauschquelle, da der Umgang mit dieser Quelle unkomplizierter ist als der mit einer radioaktiven Quelle wie in PURAN 1 [3].
Bereits während der Generierung und Aufzeichnung soll die Qualität der Zufallsbits überwacht werden. Weitere Tests werden dann soweit erforderlich nach der Aufzeichnung durchgeführt.
Es soll kein Testverfahren existieren, das eine Abweichung von den quasi-idealen Eigenschaften der Zufallsbits erkennen läßt.
Zur Messung der Qualität der Zufallsbits soll ein neues objektives Meßverfahren eingesetzt werden, welches den binären Charakter der erzeugten Zufallszahlen berücksichtigt.
Wegen der hohen Anforderungen, die an die Qualität der Zufallszahlen gestellt werden und wegen der Geschwindigkeitsforderungen bei der Simulation, sollen die Zufallsbits als Tabellengenerator in der Form einer Compact Disc mit einer Kapazität von 4,3 GBit zur Verfügung gestellt werden.