Ein Zufallszahlengenerator der echte Zufallszahlen erzeugt
Puran2

Statistische Messungen

Zur Beurteilung der erzeugten Zufallsfolge geht man von einer zweigliedrigen Markovkette aus. Sie besteht wie in Abb. 1 aus zwei Zuständen ,,0'' und ,,1''. Zwischen diesen Zuständen gibt es die Übergangswahrscheinlichkeit p0 von Zustand 0 zu Zustand 1 und p1 von Zustand 1 zu Zustand 0.

markovkette

Abbildung 1: Die zweigliedrige Markovkette mit den Übergangswahrscheinlichkeiten p0 und p1, den Zustandswahrscheinlichkeiten P0 und P1 und den Zustandshäufigkeiten r und v sowie den Übergangshäufigkeiten a und c bei n Zustandswechseln

Die stationären Zustandswahrscheinlichkeiten P0 und P1 lassen sich aus dem Gleichungssystem

(3)

berechnen:

(4)

Die zweigliedrige Markovkette ist ein elementarer Zufallsgenerator für die Erzeugung einer korrelierten binären Sequenz von 0,1-Werten,

equation119

Der Korrelationsgrad wird durch den Korrelationskoeffizienten 1. Ordnung beschrieben, der sich aus der Kovarianz cov(xk; xk+1) und der Streuung sx berechnen läßt [1]

(5)

Für die zweigliedrige Markovkette ergibt sich:

r = 1 - (p0 + p1) (6)

Der Sonderfall p=0 bedeutet, daß ein Zustand unabhängig vom vorherigen Zustand ist. Für den Korrelationskoeffizienten h-ter Ordnung gilt äquivalent zum Korrelationskoeffizienten 1. Ordnung:

(7)

Er kann bei der zweigliedrigen Markovkette aus dem Korrelationskoeffizienten 1. Ordnung bestimmt werden [9]:

rh = r h = [1 - (p0 + p1)] h (8)

Zur vollständigen statistischen Bestimmung der zweigliedrigen Markovkette mit unbekannten Eigenschaften können die beiden Parameter r und P0 anstelle der Parameter p0 und p1 gemessen werden [9],[10]. Hierzu werden 3 Zähler benötigt:

  • Ein Zähler für die Anzahl n aller Zustände
  • Ein Zähler für die Häufigkeit r des Zustandes 0
  • Ein Zähler für die Häufigkeit a des Übergangs von 0 nach 1

Für die Häufigkeit v des Zustandes 1 und die Häufigkeit des Übergangs von 1 nach 0 gilt dann:

v = n - r (9)
(10)

Da es sich bei den nachstehenden Messungen immer um sehr große Stichproben und um sehr kleine Werte des Korrelationskoeffizienten r handelt, können die folgenden Bedingungen stets eingehalten werden

n > 103;     (r;v) > 102;     (a;r-a;c;r-c) > 10;     c ≈ a (9)

und folgende Formeln zur Bestimmung der Parameter der zweigliedrigen Markovkette aus den Meßwerten n,r,a benutzt werden [9],[10]:

(12)

Für die Aussagen nach Gl. ( 12) gelten die mittleren quadratischen Fehlermaße:

(13)

Diese Parameter sind den Posterior-Dichtefunktionen f(P0| r,a) und f(r| r,a) zur Beschreibung der Größen P0 und r der zweigliedrigen Markovkette nach der Messung zugeordnet [9],[10]. Im Fall von sehr großen Stichproben, was bei Messungen an PURAN 2 immer vorausgesetzt werden kann, sind diese Dichten normalverteilt:

(14)