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Statistische Messungen

Zur Beurteilung der erzeugten Zufallsfolge geht man von einer zweigliedrigen Markovkette aus. Sie besteht wie in Abb. 1 aus zwei Zuständen ,,0“ und ,,1“. Zwischen diesen Zuständen gibt es die Übergangswahrscheinlichkeit p0 von Zustand 0 zu Zustand 1 und p1 von Zustand 1 zu Zustand 0.

Die zweigliedrige Markovkette mit den Übergangswahrscheinlichkeiten p0 und p1, den Zustandswahrscheinlichkeiten P0 und P1 und den Zustandshäufigkeiten r und v sowie den Übergangshäufigkeiten a und c bei n Zustandswechseln
Die zweigliedrige Markovkette mit den Übergangswahrscheinlichkeiten p0 und p1, den Zustandswahrscheinlichkeiten P0 und P1 und den Zustandshäufigkeiten r und v sowie den Übergangshäufigkeiten a und c bei n Zustandswechseln

Die stationären Zustandswahrscheinlichkeiten P0 und P1 lassen sich aus dem Gleichungssystem

\begin{equation} \left( \begin{array}{cc} – p_{0} & p_{1} \\ p_{0} &a – p_{1} \\ \end{array} \right) \left( \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{array}{c} P_0 \\ P_1 \\ \end{array} \right) = 0 \end{equation}
\[(3)\]

berechnen:

\begin{equation} \renewcommand{\arraystretch}{1.6} \begin{array}{rcl} P_0 & = &\displaystyle \frac{p_{1}}{p_{0} + p_{1}} \\ P_1 & = & \displaystyle \frac{p_{0}}{p_{0} + p_{1}} = 1 – P_0 \end{array} \end{equation}
\[(4)\]

Die zweigliedrige Markovkette ist ein elementarer Zufallsgenerator für die Erzeugung einer korrelierten binären Sequenz von 0,1-Werten,

$$ x_0, x_1 \ldots x_n, x_{n+1} \ldots; \;\; x \in \{0,1\} $$
\[(5)\]

Der Korrelationsgrad wird durch den Korrelationskoeffizienten 1. Ordnung beschrieben, der sich aus der Kovarianz cov(xk; xk+1) und der Streuung sx berechnen läßt [1]

\begin{equation} \rho = \frac{cov(x_n,x_{n+1})}{\sigma_x^2} \end{equation}
\[(6)\]

Für die zweigliedrige Markovkette ergibt sich:

\begin{equation} \rho = 1 – ( p_0 + p_1 ) \end{equation}
\[(7)\]

Der Sonderfall p=0 bedeutet, daß ein Zustand unabhängig vom vorherigen Zustand ist. Für den Korrelationskoeffizienten h-ter Ordnung gilt äquivalent zum Korrelationskoeffizienten 1. Ordnung:

\begin{equation} \rho_h = \frac{cov(x_k,x_{k+h})}{\sigma_x^2} \end{equation}
\[(8)\]

Er kann bei der zweigliedrigen Markovkette aus dem Korrelationskoeffizienten 1. Ordnung bestimmt werden [9]:

\begin{equation} \rho_h = \rho^h = \left[ 1 – (p_0 + p_1) \right]^h \end{equation}
\[(9)\]

Zur vollständigen statistischen Bestimmung der zweigliedrigen Markovkette mit unbekannten Eigenschaften können die beiden Parameter r und P0 anstelle der Parameter p0 und p1 gemessen werden [9],[10]. Hierzu werden 3 Zähler benötigt:

  • Ein Zähler für die Anzahl n aller Zustände
  • Ein Zähler für die Häufigkeit r des Zustandes 0
  • Ein Zähler für die Häufigkeit a des Übergangs von 0 nach 1

Für die Häufigkeit v des Zustandes 1 und die Häufigkeit des Übergangs von 1 nach 0 gilt dann:

\begin{eqnarray} v = n – r; \\ c = \left\{ \begin{array}{ll} a & für\; x_n = x_0; \\ a + 1 & für\; x_n = 0 \; \mbox{ und }\; x_0 = 1 \\ a – 1 & für\; x_n = 1 \; \mbox{ und }\; x_0 = 0 \\ \end{array} \right.. \end{eqnarray}
\[(10)\]

Da es sich bei den nachstehenden Messungen immer um sehr große Stichproben und um sehr kleine Werte des Korrelationskoeffizienten r handelt, können die folgenden Bedingungen stets eingehalten werden

\begin{equation} n \ge 10^3; \hspace{1cm} (r,v) \ge 10^2; \hspace{1cm} (a,r-a,c,r-c) \ge 10; \hspace{1cm} c \approx a \label{Large_Sample_Bedingung} \end{equation}
\[(11)\]

und folgende Formeln zur Bestimmung der Parameter der zweigliedrigen Markovkette aus den Meßwerten n,r,a benutzt werden [9],[10]:

\begin{equation} \overline{P}_0 = \displaystyle \frac{r}{n}; \hspace{1cm} \overline{P}_1 = 1 – \overline{P}_0 = \displaystyle \frac{v}{n}; \label{P1_quer} \end{equation} \begin{equation} \overline{\rho} = \displaystyle \displaystyle 1 – \frac{na}{vr}. \label{Rho_quer} \end{equation}
\[(12)\]

Für die Aussagen nach Gleichung (12) gelten die mittleren quadratischen Fehlermaße:

\begin{eqnarray} \sigma_P & = & \displaystyle \frac{1}{n}\sqrt{ \frac{rv}{n} \cdot \frac{1+\overline{\rho}}{1-\overline{\rho}}} \label{d_P} \\ \sigma_{\rho} & = & \sqrt{ \displaystyle a \left( \frac{(r-a)}{r^3} + \frac{(v-a)}{v^3}\right) } \label{d_r} \end{eqnarray}
\[(13)\]

Diese Parameter sind den Posterior-Dichtefunktionen f(P0| r,a) und f(r| r,a) zur Beschreibung der Größen P0 und r der zweigliedrigen Markovkette nach der Messung zugeordnet [9],[10]. Im Fall von sehr großen Stichproben, was bei Messungen an PURAN 2 immer vorausgesetzt werden kann, sind diese Dichten normalverteilt:

\begin{eqnarray} f(P_0 \mid r,a) & = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi }\sigma_P} \cdot \exp \left( – \frac{(P_0 – \overline{P}_0)^2}{ 2 \sigma_P^2} \right) \\ f(\rho \mid r,a) &a = & \displaystyle \frac{1}{\sqrt{ 2 \pi }\sigma_\rho} \cdot \exp \left( – \frac{(\rho – \overline{\rho})^2}{ 2 \sigma_\rho^2} \right) \end{eqnarray}
\[(14)\]