Der Rauschgenerator

Eine Rauschquelle kann dargestellt werden als eine Reihenschaltung einer idealen Rauschquelle, die weißes Rauschen erzeugt, mit einem Filter, das den Frequenzgang bzw. die Übertragungsfunktion H(f) der realen Rauschquelle darstellt.

Allgemeiner Aufbau einer Rauschquelle mit einer Quelle für ideales weißes Rauschen sa(t) und einem Filter mit dem Frequenzgang — **Abbildung 4:** Allgemeiner Aufbau einer Rauschquelle mit einer Quelle für ideales weißes Rauschen *s_a(t)* und einem Filter mit dem Frequenzgang

Die Autokorrelationsfunktion (AKF) des Ausgangssignals j_b(t) kann aus der Fouriertransformierten des Ausgangssignals S_b(f) einfach berechnet werden:

\begin{equation} \phi_b(f) = \left| S_b(f) \right|^2 = \left| H(f) \right|^2 \bullet\!\!\mbox{—} \!\!\circ \varphi_b(T) \\ \label{Grossphi} \end{equation}

\[(19)\]

Mit Hilfe der inversen Fouriertransformation läßt sich dann die AKF \(\varphi_b(T)\) des Ausgangssignals bestimmen. Gute Eigenschaften bezüglich der Korrelation zeigen Filter, die eine RC-Bandpaßcharakteristik 1. Ordnung aufweisen [6].

Aus diesem Grund wurde ein gekoppelter RC-Bandpaß 1. Ordnung als Filter gewählt. Mit den noch zusätzlich notwendigen 3 Verstärkern nach Abb. 5 zur Verstärkung des Rauschsignals, um es der Abtastschaltung zuführen zu können, ergibt sich für die Fouriertransformierte der AKF:

\[ \phi_c(f) = \left| S_c(f) \right|^2 = \underbrace{ \frac {f1^{2}f^{2}}{\left (f^{2}+p2^{2}\right ) \left (f^{ 2}+p1^{2}\right )}}_ { \mbox{RC–Bandpass}} \cdot \underbrace{\left[ \frac{f_3^2}{f^{2}+f3^{2}} \right]^3 }_ { \mbox{ 3 Verstärker}} \label{Phi_c} \]

\[(20)\]

Mit den Abkürzungen:

\begin{equation} \renewcommand{\arraystretch}{2.5} \begin{array}{c} \alpha = \displaystyle 1 + \frac{R_1}{R_2} + \frac{C_2}{C_1};\quad f_1 = \displaystyle \frac{1}{2 \pi R_1 C_2};\quad f_2 = \displaystyle \frac{1}{2 \pi R_2 C_1} \\ \begin{array}{rcl} p_1 & = & \displaystyle {\frac {\sqrt {f_1}\left (\alpha\,\sqrt {f_1} – \sqrt {\alpha^{2}f_1-4\,f_2} \right )}{2}} \\ p_2 & = & \displaystyle {\frac {\sqrt {f_1}\left (\alpha\,\sqrt {f_1} + \sqrt {\alpha^{2}f_1-4\,f_2} \right )}{2}} \end{array} \end{array} \end{equation}

**Abbildung 5:** Prinzipieller Aufbau des Rauschgenerators mit einer weißen Rauschquelle, dem RC-Bandpaß und 3 Verstärkerstufen

Die Bauelemente des eingesetzten Bandpasses sowie die Grenzfrequenz der Verstärker besitzen die folgende Werte:

\[ R_1 = 100 \Omega; R_2 = 51 \Omega; C_1 = 27 pF ; C_2 = 27 pF \]

Daraus ergeben sich für die Parameter der Fouriertransformierten der AKF laut Gl.(20) folgende Werte:

\[ \displaystyle \alpha = 3,\!9608; \displaystyle f_1 = 58,\!9863 \mbox{MHz}; \displaystyle f_2 = 115,\!5809 \mbox{MHz}; \displaystyle p_1 = 34,\!1874 \mbox{MHz}; \displaystyle p_2 = 199,\!2861 \mbox{MHz}; \]

Die Autokorrelationsfunktion \(\varphi(T)\) ist eine sehr umfangreiche Funktion [7]. Sie läßt sich jedoch durch eine Exponetialfunktion Gl.(21) gut annähern

\[\varphi_c(T) \approx \displaystyle 0,\!46738 \cdot e^{- \displaystyle 2\pi f_0 T} f_0 = 34,\!1874 \mbox{ MHz}\]

\[(21)\]

Daraus ergibt sich für die benutzte Abtastzeit T=5us, die durch die maximale Übertragungsgeschwindigkeit zum Rechner begrenzt wird, ein berechneter Wert für den Korrelationskoeffizienten von weit unter 10^-100. Damit ist er so gering, daß er gegenüber der Korrelation, die durch nicht ideale Bauteile in der Abtastschaltung hervorgerufen werden, vernachlässigt werden kann.